"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 逆行列の問18, 19, 20を解いてみる。
問18
2×2行列を
C=
| x | u |
| y | v |
とおくと、
CA=
| ax+cu | bx+du |
| ay+cv | by+dv |
問題の仮定よりCA=Eなので、次の連立方程式が成り立つ。
ax+cu=1
bx+du=0
ay+cv=0
by+dv=1
これを解く。
adx+cdu=d
bcx+cdu=0
(ad-bc)x=d
同様に計算すると
(ad-bc)y=-c
(ad-bc)u=-b
(ad-bc)v=a
よって
ならば、
x=d/(ad-bc)
u=-b/(ad-bc)
y=-c/(ad-bc)
v=a/(ad-bc)
またad-bc=0と仮定すると、a=b=c=d=0となり、問題の仮定に反する。よって
C=
1/(ad-bc)×
| d | -b |
| -c | a |
=B
となる。
問19
(1)
よって逆行列をもち、その逆行列は
| 2 | 1 |
| 5 | 3 |
(2)
よって逆行列をもち、その逆行列は
| -3/4 | 1/4 |
| 1 | 0 |
(3)
よって逆行列をもち、その逆行列は
| 0 | -1 |
| -1 | 0 |
(4)
よって逆行列をもたない。
問20
行列A, Bをそれぞれ
| a | b |
| c | d |
| e | f |
| g | h |
とおく。行列A、Bは仮定より逆行列をもつので
| d | -b |
| -c | a |
| h | -f |
| -g | e |
| dh+cf | -bh-af |
| -dg-ce | bg+ae |
行列ABは
| ae+bg | af+bh |
| ce+dg | cf+dh |
=(ad-bc)(eh-fg)
よって行列ABは逆行列をもち、その逆行列は
| cf+dh | -af-bh |
| -ce-dg | ae+bg |
ゆえに、
である。
(証明終)
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