数学学習の記録 403 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問12, 13, 14

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問12, 13, 14を解いてみる。

問12

(1)

4	-2
0	1

-

6	-4
1	-1

+

4	-3
-2	1

-

5	-3
-3	2

=

-3	2
0	1

(2)

-1	1
3	-1

(1)と(2)の結果を比較

(3)

19	-12
-4	3

(4)

21	-13
-1	1

(3)と(4)の結果を比較

問13

AB=

x-2y	-2
-x+2y	2

BA=

x-4	-2x+8
y-3	2

AとBが可換であるためには

x-2y=x-4

-2=-2x+8

-x+2y=y-3

が成り立てばよい。この連立方程式を解く。

x=5, y=2

問14

2次の行列Aを

a	b
c	d

とおく。Aは任意の行列Xと可換なので、行列X、

1	0
0	0

と可換。よって

a	0
c	0

=

a	b
0	0

ゆえに、b=0, c=0となる。

また行列Aは行列Y

0	0
1	0

と可換。よって

0	0
d	0

=

0	0
a	0

ゆえに、a=dとなる。

a=d=kとおけば、

行列AはA=kEの形をしている。

(証明終)