"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問12, 13, 14を解いてみる。
問12
(1)
4 | -2 |
0 | 1 |
-
6 | -4 |
1 | -1 |
+
4 | -3 |
-2 | 1 |
-
5 | -3 |
-3 | 2 |
=
-3 | 2 |
0 | 1 |
(2)
-1 | 1 |
3 | -1 |
(1)と(2)の結果を比較
(3)
19 | -12 |
-4 | 3 |
(4)
21 | -13 |
-1 | 1 |
(3)と(4)の結果を比較
問13
AB=
x-2y | -2 |
-x+2y | 2 |
BA=
x-4 | -2x+8 |
y-3 | 2 |
AとBが可換であるためには
x-2y=x-4
-2=-2x+8
-x+2y=y-3
が成り立てばよい。この連立方程式を解く。
x=5, y=2
問14
2次の行列Aを
a | b |
c | d |
とおく。Aは任意の行列Xと可換なので、行列X、
1 | 0 |
0 | 0 |
と可換。よって
a | 0 |
c | 0 |
=
a | b |
0 | 0 |
ゆえに、b=0, c=0となる。
また行列Aは行列Y
0 | 0 |
1 | 0 |
と可換。よって
0 | 0 |
d | 0 |
=
0 | 0 |
a | 0 |
ゆえに、a=dとなる。
a=d=kとおけば、
行列AはA=kEの形をしている。
(証明終)
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