"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 二三の応用問題の問45, 46を解いてみる。
問45
(1)
(2)
(1)より、
また、問題の仮定より、
よって水面が降下する速度をxの関数として表すと、
となる。
(3)
(2)の微分方程式を解くと、
また、t=0のとき、x=2Rとなるので、
(4)
(3)の式のxにRを代入してtを求めればよい。
(計算は時間がかかりそうなので割愛)
問46
与えられた問題の等式の両辺をxについて微分すると、
f'(x)=f(x)+1
dy/dx=y+1
この微分方程式を解く。
また、問題の等式でx=0とすると、
f(0)=2
となるので、
2=C-1
C=3
よって求める関数f(x)は
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