"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 二三の応用問題の問42, 43, 44を解いてみる。
問42
求める曲線の方程式をy=f(x)とすれば、この曲線の点P(x, y)における接線の傾きはdy/dxとなる。また、(X, Y)を接線上の点の座標とすれば、接線の方程式は
Y-y=dy/dx (X-x)
となる。また問題の仮定より、X=0のとき、Y=2yとなるので
2y-y=dy/dx (0-x)
y=-xdy/dx
これを解けばよい。よって求める曲線は
xy=C
(Cは任意の定数)
問43
平面上の任意の点P(x, y)を与える。
のとき、Pを通る双曲線xy=kはただ1つ存在する。そして、その双曲線乗の点P(x, y)における接線の傾きは
となる。これをx, yだけで表せば、
となる。よって問題の双曲線xy=kのすべてに直交する曲線を求めるには、任意の点
において、傾きy/xの直線と直交する接線を持つような曲線を求めればよい。すなわち求める曲線の方程式をy=f(x)とすれば、
dy/dx (-y/x)=-1
が成り立つ。この微分方程式を解く。
ydy=xdx
(Cは0でない任意の定数)
C=0の場合
(x+y)(x-y)=0
よって求める曲線は上記の双曲線および直線。
問44
平面上の任意の点P(x, y)を与えるとき、
ならば、Pを通る曲線
はただ1つ存在し、その係数は
となる。そしてこの曲線の点P(x, y)における接線の傾きは
なので、これをx, yだけで表すと、
となる。よって全ての曲線と直交するような曲線を求めるには、任意の点
において、傾き3y/xの直線と直交する接線を持つような曲線を求めればよい。求める曲線の方程式をy=f(x)とすれば、
dy/dx 3y/x = -1
この微分方程式を解けばよい。
3ydy=-xdx
(C>0)
また、x=0のときはx=0。
よって求める曲線は上記の楕円および直線。
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