数学学習の記録 391 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 解曲線と初期条件の問32, 33, 34

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 解曲線と初期条件の問32, 33, 34を解いてみる。

問32

以下Cはそれぞれ任意の定数。

(1)

$y=\frac{1}{3}x^{3}+C$

初期条件より

2=C

よって求める微分方程式の解は

$y=\frac{1}{3}x^{3}+2$

(2)

$y=Ce^{3x}$

初期条件より

5=C

よって求める微分方程式の解は

$y=5e^{3x}$

(3)

$y=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

初期条件より

0=-1/2+C

C=1/2

よって求める微分方程式の解は

$y=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$

問33

$y=Ce^{kx}$

初期条件より、

$y_{0}=Ce^{kx_{0}}$

$\log y_{0}=\log C+\log e^{kx_{0}}$

$C=\frac{y_{0}}{e^{kx_{0}}}$

よって求める微分方程式の解は

$y=y_{0}e^{k(x-x_{0})}$

問34

ある化学物質の最初の量をCとすると、

$y=Ce^{-\frac{1}{2}t}$

求める時刻は最初の量の半分が分解する時刻なので、

$\frac{1}{2}C=Ce^{-\frac{1}{2}t}$

を満たす時刻を求めればよい。よって

$\log \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}t$

t=log 4 秒後

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