2010年12月12日日曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 回転体の体積の問18, 19, 20を解いてみる。



問18

\pi\int_{0}^{h}(mx)^{2}dx

=\pi m^{2}\frac{1}{3}[x^{3}]_{0}^{h}

=\frac{1}{3}\pi m^{2}h^{3}

これが体積となる。

また、問題の回転体はx=hにおけるx軸の周りに回転して出来た平面を底面とする高さhの円錐なので、底面積は

\pi (mh)^{2}=\pi m^{2}h^{2}

よって上記の回転体の体積より、円錐の面積は"底面×高さ"の1/3である。


問19

(1)

2\pi\int_{0}^{a}b^{2}(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})dx

=2\pi b^{2}[x-\frac{1}{3a^{2}}x^{3}]_{0}^{a}

=\frac{4}{3}\pi ab^{2}

(2)

aとbを入れ替えるだけでよいので、

\frac{4}{3}\pi a^{2}b

(3)

2\pi\int_{0}^{h}(-x^{2}+h^{2})^{2}dx

=2\pi\int_{0}^{h}(x^{4}-2h^{2}x^{2}+h^{4})dx

=2\pi[\frac{1}{5}x^{5}-\frac{2}{3}h^{2}x^{3}+h^{4}x]_{0}^{h}

=2\pi(\frac{1}{5}h^{5}-\frac{2}{3}h^{5}+h^{5})

=\frac{16}{15}\pi h^{5}

(4)

\pi\int_{0}^{h^{2}}(h^{2}-y)dy

=\pi[h^{2}y-\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{h^{2}}

=\frac{1}{2}\pi h^{4}

(5)

ヒントのように減点を( (a+b)/2, 0 )に平行移動して、h=(b-a)/2とおく。

2\pi\int_{0}^{h}(-x^{2}+h^{2})^{2}dx

=\frac{16}{15}\pi(\frac{b-a}{2})^{5}

=\frac{1}{30}\pi(b-a)^{5}

(6)

\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x dx

=\pi\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos2x}{2}dx

=\pi[\frac{1}{2}x-\frac{\sin2x}{4}]_{0}^{\pi}

=\frac{\pi^{2}}{2}

(7)

\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos^{2}x-\sin^{2}x)dx

=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-2\sin^{2}x)dx

=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-(1-\cos2x))dx

=\pi[\frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

=\frac{\pi}{2}


問20

3-x^{2}=1+x^{2}

x^{2}=1

2\pi\int_{0}^{1}((3-x^{2})^{2}-(1+x^{2})^{2})dx

=2\pi\int_{0}^{1}(-8x^{2}+8)dx

=16\pi[-\frac{1}{3}x^{3}+x]_{0}^{1}

=\frac{32}{3}\pi
時刻: 17:00 ラベル: , , , ,

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