数学学習の記録 383 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 体積の公式

2010年12月11日土曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 体積の公式の問17を解いてみる。

問17

図はiPadのアプリ、neu.Notes - neu.Pen LLCにより描きました。

半円の方程式は

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$

$y^{2}=a^{2}-x^{2}$

よって、求める体積は

$\int_{-a}^{a}\frac{1}{2}(a^{2}-x^{2})dx$

$=2\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})dx$ (偶関数より)

$=[a^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{a}$

$=\frac{2}{3}a^{3}$