数学学習の記録 382 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 広義の積分の問15, 16 | Kamimura's blog

2010年12月10日金曜日

数学学習の記録 382 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 広義の積分の問15, 16

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 広義の積分の問15, 16を解いてみる。

問15

(1)

b>1とすると、0<α<1ならば、

$\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{\alpha}}$

$=\frac{1}{-\alpha+1}[x^{-\alpha+1}]_{1}^{b}$

$=\frac{1}{-\alpha+1}(b^{-\alpha+1}-1)$

$\rightarrow\infty\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は収束しない。

(証明終)

(2)

(1)より、α>1ならば、

$\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{\alpha}}\rightarrow\frac{1}{1-\alpha}\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は収束し、その値は1/(1-α)となる。

問16

(1)

b>0とする。

$\int_{0}^{b}e^{-x}dx$

$=[-e^{-x}]_{0}^{b}$

$=-e^{-b}+1$

$\rightarrow1\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は値1に収束する。

(2)

b>0とする。

$\int_{0}^{b}xe^{-x}dx$

$=[x(-e^{-x})]_{0}^{b}-\int_{0}^{b}(-e^{-x})dx$

$=b(-e^{-b})+[-e^{-x}]_{0}^{b}$

$\rightarrow 1\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は値1に収束する。

(3)

b>0とする。

$\int_{0}^{b}x^{2}e^{-x}dx$

$=[x^{2}(-e^{-x})]_{0}^{b}-\int_{0}^{b}2x(-e^{-x})dx$

$=b^{2}(-e^{-b})+2\int_{0}^{b}xe^{-x}dx$

$\rightarrow 2\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は値2に収束する。

(4)

b>1とする。

$\int_{1}^{b}\frac{\log x}{x^{2}}dx$

$=[-x^{-1}\log x]_{1}^{b}-\int_{1}^{b}(-x^{-2})dx$

$=-b^{-1}\log b+[-x^{-1}]_{1}^{b}$

$=-b^{-1}\log b-b^{-1}+1$

$\rightarrow 1\ (b\rightarrow\infty)$

よって問題の積分は値1に収束する。

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