数学学習の記録 381 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 広義の積分の問13, 14

2010年12月9日木曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 広義の積分の問13, 14を解いてみる。

問13

(1)

α>1より、

$\int_{h}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha}}$

$=[\frac{1}{-\alpha+1}x^{-\alpha+1}]_{h}^{1}$

$=\frac{1}{-\alpha+1}(1-h^{-\alpha+1})$

$\rightarrow\ +\infty\ (h\rightarrow0)$

となる。よって問題の積分は存在しない。

(証明終)

(2)

0<α<1のとき、(1)より

$\int_{h}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha}}\rightarrow \frac{1}{-\alpha+1}\ (h\rightarrow 0)$

よって、

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha}}=\frac{1}{1-\alpha}\ (0<\alpha<1)$

(証明終)

問14

ヒントのように

x=sin θ, h=sin β

とおくと、

$\int_{0}^{\beta}\frac{1}{\cos\theta}\cdot\cos\theta d\theta=\beta$

ここで

arcsin h=β

より、hが1に近づくとき、βはπ/2に近づく。

ゆえに、

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}$

(証明終)