数学学習の記録 379 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問10, 11

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問10, 11を解いてみる。

図はiPadのアプリ、neu.Notes - neu.Pen LLCにより描いています。

問10

ヒントの形に変形する。

$a(x+\frac{b^{2}}{4a})=(y+\frac{b}{2})^{2}$

この放物線の焦点の座標は

$(\frac{a}{4}-\frac{b^{2}}{4a},\ -\frac{b}{2})$

また、放物線

$y=x^{2}$

の焦点の座標は

$(0,\ \frac{1}{4})$

問題の仮定より上記の2つの放物線は焦点を共有しているので、

$\frac{a}{4}-\frac{b^{2}}{4a}=0$

$-\frac{b}{2}=\frac{1}{4}$

$b=-\frac{1}{2},\ a^{2}=b^{2},\ a^{2}=\frac{1}{4},\ a=\frac{1}{2}$

2つの放物線に求めたa, bを代入すると、

$y=x^{2},\ \frac{1}{2}x=y^{2}-\frac{1}{2}y$

図

$S=\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx+\int_{0}^{1}(y-(2y^{2}-y))dy$

$=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{1}{2}$

問11

点(1, 2)を通る傾きmの直線の方程式は

y=m(x-1)+2

この直線と問題の放物線の交点を考える。

$mx-m+2=x^{2}$

$x^{2}-mx+m-2=0$

この判別式は

$D=m^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8$

よって直線と放物線で囲まれる図形の面積は

$S=\frac{(m^{2}-4m+8)^{\frac{3}{2}}}{6}$

これが最小になるmの値を求めればよいので求めるmの値は

m=2

このときの面積は

S=4/3

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