2010年12月6日月曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問7, 8, 9を解いてみる。



問7

問題の曲線と接線の接点を(a, b)とおくと、

b=log a

接線の方程式は

y=1/a x

b=1/a a

b=1

a=e

y=1/e x

よって求める面積は

\int_{0}^{1}e^{-1}xdx+\int_{1}^{e}(e^{-1}x-\log x)dx

=\frac{e^{-1}}{2}+[\frac{e^{-1}}{2}x^{2}]_{1}^{e}-\left([x\log x]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}1dx\right)

=\frac{e^{-1}}{2}+\frac{e}{2}-\frac{e^{-1}}{2}-(e-(e-1))

=\frac{e}{2}-1


問8

(1)

線分ABの中点Mは

(\frac{a+b}{2},\ \frac{a^{2}+b^{2}}{2})

点Aにおける放物線の接線を求める。

y=2a(x-a)+a^{2}

点Bにおける放物線の接線を求める。

y=2b(x-b)+b^{2}

上記の2つの接線の交点Qを求める。

2ax-a^{2}=2bx-b^{2}

x=\frac{a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}

よってMとQのx座標は等しいので、MとQを結ぶ直線MQは放物線の軸と平行である。

(証明終)

(2)

点Qのy座標は

y=2a\cdot\frac{b-a}{2}+a^{2}=ab

よってMQの中点は

(\frac{a+b}{2},\ \frac{ab+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}{2})

=(\frac{a+b}{2},(\frac{a+b}{2})^{2})

MQの中点は直線と放物線の交点Pと一致する。

(証明終)

(3)

\frac{(b-a)^{3}}{6}

(4)

S_{2}=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(x^{2}-(2ax-a^{2}))dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}(x^{2}-(2bx-b^{2}))dx

=\int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(x-a)^{2}dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}(x-b)^{2}dx

=[\frac{1}{3}(x-a)^{3}]_{a}^{\frac{a+b}{2}}+[\frac{1}{3}(x-b)^{3}]_{\frac{a+b}{2}}^{b}

=\frac{1}{3}\cdot\frac{2(b-a)^{3}}{8}=\frac{(b-a)^{3}}{12}

(5)

S_{3}=\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})=\frac{(b-a)^{3}}{8}

(6)

S_{1}:S_{2}:S_{3}=4:2:3


問9

S_{1}+S_{2}=\int_{0}^{4}(2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}x^{2})dx

=[\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}x^{3}]_{0}^{4}

=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3}

S_{1}=\int_{0}^{1}(2x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{4}x^{2})dx+\int_{1}^{2}((3-x)-\frac{1}{4}x^{2})dx

=[\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}x^{3}]_{0}^{1}+[3x-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{12}x^{3}]_{1}^{2}

=\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+(6-2-\frac{2}{3})-(3-\frac{1}{2}-\frac{1}{12})

=\frac{13}{6}

よって

S_{2}=\frac{16}{3}-\frac{13}{6}=\frac{19}{6}

S_{1}:S_{2}=13:19
時刻: 16:58 ラベル: , , , ,

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