数学学習の記録 377 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問4, 5, 6

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問4, 5, 6を解いてみる。

問4

$S=\left|a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\right|$

$=\frac{|a|}{6}(\alpha-\beta)^{3}$

$=\frac{|a|}{6}\cdot\left(\frac{2\sqrt{D}}{2a}\right)^{3}$

$=\frac{D^{\frac{3}{2}}}{6a^{2}}$

(証明終)

問5

(1)

D=16+40=56

$S=\frac{56^{\frac{3}{2}}}{24}=\frac{56\cdot2\sqrt{14}}{24}=\frac{14\sqrt{14}}{3}$

(2)

$x^{2}-6x=2x+2$

$x^{2}-8x-2=0$

D=64+8=72

$S=\frac{72^{\frac{3}{2}}}{6}=\frac{72\cdot3\cdot2\sqrt{2}}{6}=72\sqrt{2}$

問6

問題の曲線の点(1,1)における接線の式を求める。

y-1=3(x-1)

y=3x-2

この接線と曲線の交点を求める。

$x^{3}=3x-2$

$x^{3}-3x+2=0$

$(x-1)^{2}(x+2)=0$

(1, 1), (-2, -8)

図は以下のようになる。(図を描くのにiPadのneu.Notesを利用。)

よって

$\int_{-2}^{1}(x^{3}-(3x-2))dx$

$=[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+2x]_{-2}^{1}$

$=(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2)-(4-6-4)$

$=\frac{27}{4}$

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