"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、積分と不等式の問38, 39, 40を解いてみる。
問38
上の例の不等式より、
この一番右の式は、
よって問題の極限の等式は成り立つ。
(証明終)
問39
より、
また、
より、
よって
(証明終)
問40
fが区間[a, b]で定数ならば命題は自明。
定数ではないとき、
区間[a, b]でfは連続なので、その最大値をm, 最小値をMとすると
となる。よって、
とおくと、
m<K<M
となる。よって中間値の定理より、ある
が存在して、
となる。
(証明終)
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