2010年11月30日火曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、リーマン和の極限としての定積分の問36, 37を解いてみる。



問36

(1)

\int_{0}^{1}(1+x)^{2}dx

=[\frac{1}{3}(1+x)^{3}]_{0}^{1}

=\frac{7}{3}

(2)

\int_{0}^{1}x^{\alpha}dx

=[\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_{0}^{1}

=\frac{1}{\alpha+1}

(3)

\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx

=[\log(1+x)]_{0}^{1}

=\log 2

(4)

\int_{0}^{1}\sin x\pi dx

=[-\frac{1}{\pi}\cos \pi x]_{0}^{1}

=\frac{2}{\pi}

(5)

\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx

=[2(1+x)^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1}

=2(\sqrt{2}-1)


問37

問題の極限の式の分子を

n^{(\alpha+1)(\beta+1)

で割ると、

(\frac{1^{\alpha}+2^{\alpha}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +n^{\alpha}}{n^{\alpha+1}})^{\beta+1}

同じ値で極限の式の分母を割ると、

(\frac{1^{\beta}+2^{\beta}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +n^{\beta}}{n^{\beta+1}})^{\alpha+1}

となる。よって分子、分母の極限はそれぞれ

(\int_{0}^{1}x^{\alpha}dx)^{\beta+1}

=([\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}]_{0}^{1})^{\beta+1}

=(\frac{1}{\alpha+1})^{\beta+1}

(\int_{0}^{1}x^{\beta}dx)^{\alpha+1}=(\frac{1}{\beta+1})^{\alpha+1}

よって求める極限は

\frac{(\beta+1)^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^{\beta+1}}
時刻: 15:50 ラベル: , , , ,

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)