数学学習の記録 370 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、定積分の部分積分法

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、定積分の部分積分法の問32, 33, 34を解いてみる。

問32

(1)

$[x\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$

$=\frac{\pi}{2}+[\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$=\frac{\pi}{2}-1$

(2)

$[-x\cos x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}(-\sin x)dx$

$=\pi-[\cos x]_{0}^{\pi}$

$=\pi$

(3)

$[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{x}dx$

(4)

$[\frac{1}{3}x^{3}\log x]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{1}{3}x^{2}dx$

$=\frac{1}{3}e^{3}-[\frac{1}{9}x^{3}]_{1}^{e}$

$=\frac{2}{9}e^{3}+\frac{1}{9}$

問33

左辺

$=[\frac{1}{2}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}(x-\alpha)^{2}dx$

$=-\frac{1}{2}[\frac{1}{3}(x-\alpha)^{3}]_{\alpha}^{\beta}$

$=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

=右辺

(証明終)

問34

$[\frac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1}(x-\beta)]_{\alpha}^{\beta}-\frac{1}{n+1}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{n+1}dx$

$=-\frac{1}{n+1}[\frac{1}{n+2}(x-\alpha)^{n+2}]_{\alpha}^{\beta}$

$=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}(\beta-\alpha)^{n+2}$

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