数学学習の記録 368 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、置換積分法の応用(1)-偶関数と奇関数

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、置換積分法の応用(1)-偶関数と奇関数の問28, 29を解いてみる。

問28

偶関数の項、奇関数の項に注意して解く。

$\int_{-1}^{1}((x^{3}+bx)+(ax^{2}+c))^{2}dx$

$=\int_{-1}^{1}((x^{3}+bx)^{2}+2(x^{3}+bx)(ax^{2}+c)+(ax^{2}+c)^{2})dx$

$=2\int_{0}^{1}((x^{6}+(2b+a^{2})x^{4}+(b^{2}+2ac)x^{2}+c^{2})dx$

$=2(\frac{1}{7}+\frac{1}{5}(2b+a^{2})+\frac{1}{3}(b^{2}+2ac)+c^{2})$

この式を最小にするa, b, cの値を求める。

c(c+2a/3)=0

b(b+6/5)=0

a(a-10c/3)=0

これを満たすa, b, cを求めると、

a=0, b=-6/5, c=0

問29

偶関数の項、奇関数の項に注意して解く。

$\int_{-p}^{p}(x(x^{2}-p^{2})-c(x^{2}-p^{2}))dx$

$=2\int_{0}^{p}(cp^{2}-cx^{2})dx$

$=2(cp^{3}-\frac{c}{3}p^{3})$

$=\frac{4c}{3}p^{3}$

これが以下の条件

$p\ne0$

で0になるのでc=0となる。

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