2010年11月25日木曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、定積分の置換積分法の問26, 27を解いてみる。



問26

(1)

2x-1=tとおくと、

dt/dx=2, dx=dt/2

x=1のときt=1, x=3のときt=5

よって

\int_{1}^{5}\frac{t^{3}}{2}dt=[\frac{t^{4}}{8}]_{1}^{5}

=\frac{1}{8}(5^{4}-1)=\frac{1}{8}(5^{2}+1)(5^{2}-1)

=\frac{26\cdot24}{8}=78

(2)

cos x=tとおくと、

dt/dx=-sin x, dx=-dt/sin x

x=0のときt=1, x=π/2のときt=0

よって

-\int_{1}^{0}t^{2}=[\frac{1}{3}t^{3}]_{0}^{1}=\frac{1}{3}

(3)

cos x=tとおくと、

dt/dx=-sin x, dx=-dt/sin x

x=0のときt=1, x=πのときt=-1

よって

-\int_{1}^{-1}t^{3}dt=[\frac{1}{4}t^{4}]_{-1}^{1}=0

(4)

sin x=tとおくと、

dt/dx=cos x, dx=dt/cos x

x=0のときt=0, x=π/6のときt=1/2

よって

\int_{0}^{\frac{1}{2}}t^{4}dt=\frac{1}{5}[t^{5}]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{160}

(5)

x^{2}=t

とおくと、

dt/dx = 2x, dx=dt/2x

x=0のときt=0, x=1のときt=1

よって

\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{2}dt=\frac{1}{2}[e^{t}]_{0}^{1}=\frac{1}{2}(e-1)

(6)

x^{2}=t

とおくと,

dt/dx=2x, dx=dt/2x

x=0のときt=0,

x=\sqrt{\pi}

のときt=π

よって

\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin tdt=-\frac{1}{2}[\cos t]__{0}^{\pi}=1


問27

(1)

x=3sin tとおくと、

dx/dt=3cos t, dx=3cos t dt

またxが-3から3まで動くとき、tは-π/2からπ/2まで動く。

よって

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}3^{2}\cos^{2}tdt

=9\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2t}{2}dt

=9[\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

=\frac{9}{2}\pi

(2)

x=asin tとおくと、

dx/dt=acos t, dx=acos t dt

またxが0からa/2まで動くとき、tは0からπ/3まで動く。

よって

\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}a^{2}\cos^{2}tdt

=a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1+\cos2t}{2}dt

=a^{2}[\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin2t]_{0}^{\frac{\pi}{3}}

=a^{2}(\frac{1}{12}t+\frac{\sqrt{3}}{8})

(3)

x=asin tとおくと

dx/dt=acos t, dx=acos t dt

またxが0からa/2まで動くとき、tは0からπ/6まで動く。

よって

\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{a\cos t}{a\cos t}dt=[t]_{0}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{\pi}{6}
時刻: 16:00 ラベル: , , , ,

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