数学学習の記録 366 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、簡単な例の問23, 24, 25

2010年11月24日水曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、簡単な例の問23, 24, 25を解いてみる。

問23

$k\ne0$

のとき、

$[\frac{1}{k}\sin kx]_{-\pi}^{\pi}=0-0=0$

k=0

のとき

$[x]_{-\pi}^{\pi}=\pi-(-\pi)=2\pi$

$k\ne0$

のとき

$[-\frac{1}{k}\cos kx]_{-\pi}^{\pi}=-\frac{1}{k}(\cos k\pi-\cos(-k\pi))=0$

k=0

のとき、求める定積分は0。よって問題の等式は成り立つ。

問24

(1)

$\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\sin(m+n)x+\sin(m-n)x)dx$

(2)

$-\frac{1}{2}(\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(m+n)x-\cos(m-n)x)dx)$

$m\ne n$

のとき、0。

m=n

のとき、π。

問25

(1)

$[\arctan x]_{-1}^{1}=\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$

(2)

$[\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}]_{0}^{2\sqrt{3}}$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$