数学学習の記録 364 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問19 | Kamimura's blog

2010年11月22日月曜日

数学学習の記録 364 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問19

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、分数関数の積分の問19を解いてみる。

問19

以下それぞれの積分定数Cは省略。

(1)

$-x^{-1}\log(1+x)-\int(-x^{-1}\cdot\frac{1}{1+x})dx$

$\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}=\frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$

a=1, b=-1

よって

$-x^{-1}\log(1+x)+\log|x|-\log|x+1|$

(2)

$\frac{1}{2}x^{2}\log(x^{2}+1)-\int\frac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}dx$

$\frac{1}{2}x^{2}\log(x^{2}+1)-\int\frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\log(x^{2}+1)-\int(x-\frac{x}{x^{2}+1})dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}\log(x^{2}+1)-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\log(x^{2}+1)$

(3)

$\log e^{x}=\log t$

$x=\log t$

この両辺をtで部分すると、

dx/dt=1/t, dx=1/t dt

よって、

$\int\frac{1}{t+1}\cdot\frac{1}{t}dt$

$\frac{a}{t+1}+\frac{b}{t}=\frac{(a+b)t+b}{t(t+1)}$

b=1, a=-1

ゆえに

$-\log|t+1|+\log|t|$

$=-\log|e^{x}+1|+x$

(4)

$x\log e=\log t$

$x=\log t,\ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}$

よって

$\int\frac{1}{t-\frac{1}{t}}\cdot\frac{1}{t}dt$

$=\int\frac{1}{t^{2}-1}dt$

$=\int\frac{1}{2}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt$

$=\frac{1}{2}(\log|t-1|-\log|t+1|)$

$=\frac{1}{2}(\log|e^{x}-1|-\log|e^{x}+1|)$

(5)

$1+x=t^{2},\ x=t^{2}-1,\ \frac{dx}{dt}=2t,\ dx=2tdt$

よって

$\int\frac{t}{t^{2}-1}\cdot2tdt$

$=\int\frac{2(t^{2}-1)+2}{t^{2}-1}dt$

$=2t+2\int\frac{1}{t^{2}-1}dt$

$=2\sqrt{1+x}+\log|t-1|-\log|t+1|$

$=2\sqrt{1+x}+\log|\sqrt{1+x}-1|-\log|\sqrt{1+x}+1|$

(6)

$x=t^{2},\ \frac{dx}{dt}=2t,\ dx=2tdt$

よって

$\int\frac{1-t}{1+t}\cdot2tdt$

$=2\int\frac{t-t^{2}}{1+t}dt$

$=2\int((-t+2)-\frac{2}{t+1})dt$

$=-t^{2}+4t-4\log|t+1|$

$=-x+4\sqrt{x}-4\log|\sqrt{x}+1|$

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