数学学習の記録 362 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、三角関数の積分

2010年11月20日土曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、三角関数の積分の問16, 17を解いてみる。

問16

$I_{n}=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx$

$=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)(I_{n-2}-I_{n})$

よって

$I_{n}=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

問17

(1)

$-\frac{1}{2}\left(\int \cos(4x+3x)xdx-\int\cos(4x-3x)dx\right)$

$=-\frac{\sin 7x}{14}+\frac{\sin x}{2}$

(2)

$\frac{1}{2}\left(\int\cos(x+5x)dx+\int\cos(x-5x)dx\right)$

$=\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 4x}{8}$