数学学習の記録 361 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、部分積分法 | Kamimura's blog

2010年11月19日金曜日

数学学習の記録 361 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、部分積分法

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、部分積分法の問14, 15を解いてみる。

問14

以下積分定数Cは省略。

(1)

$-x\cos x-\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x$

(2)

$x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x$

(3)

$xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$

(4)

$-xe^{-x}-\int (-1)e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}$

(5)

$-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\int (-\frac{e^{-2x}}{2})dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{e^{-2x}}{4}$

(6)

$\frac{1}{2}x^{2}\log x-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^{2}}{2}\log x-\frac{x^{2}}{4}$

(7)

$\frac{x^{3}}{3}\log x-\int\frac{x^{2}}{3}dx=\frac{x^{3}}{3}\log x-\frac{x^{3}}{9}$

(8)

$x(\log x)^{2}-\int 2\log x dx=x(\log x)^{2}-2(x\log x-\int1dx)$

$=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x$

(9)

$-x^{2}\cos x-\int(-2x\cos x)dx=-x^{2}\cos x+2(x\sin x-\int\sin xdx)$

$=-x^{2}\cos x+2x\sin x-2\cos x$

(10)

$x^{2}e^{x}-\int2xe^{x}dx=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-\int e^{x}dx)$

$=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}$

(11)

$\int e^{-x}\sin xdx=-e^{-x}\sin x-\int (-e^{-x}\cos x)dx$

$=-e^{-x}\sin x+(-e^{-x}\cos x-\int(-e^{-x}(-\sin x))dx)$

よって

$\int e^{-x}\sin xdx=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)$

(12)

$\int e^{2x}\cos xdx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x dx$

$=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}e^{2x}\sin x-\int \frac{1}{2}e^{2x}\cos xdx)$

よって

$\int e^{2x}\cos xdx=\frac{2}{5}e^{2x}(\cos x+\frac{1}{2}\sin x)$

問15

$I_{n}=x(\log x)^{n}-\int n(\log x)^{n-1}dx$

$=x(\log x)^{n}-nI_{n-1}$

(証明終)

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