数学学習の記録 360 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、置換積分法

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、置換積分法の問11, 12, 13を解いてみる。

問11

以下積分定数Cは省略。

(1)

x+2=tとおくと、x=t-2

dx/dt=1, dx=dt

よって

$\int t^{10}dt=\frac{1}{11}t^{11}$ $=\frac{1}{11}(x+2)^{11}$

(2)

t=1-5xとおくと、x=(1-t)/5

dx/dt=-1/5, dx=-dt/5

よって

$\int t^{3}\cdot-\frac{1}{5}dt=-\frac{1}{20}t^{4}=-\frac{1}{20}(1-5x)^{4}$

(3)

1-2x=tとおくと、x=(1-t)/2,

dx/dt=-1/2, dx=-dt/2

よって

$\int\frac{6}{t^{4}}\cdot(-\frac{1}{2})dt=t^{-3}=(1-2x)^{-3}$

(4)

2x-3=tとおくと、x=(t+3)/2

dx/dt=1/2, dx=dt/2

よって

$\int\frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\log| t|=\frac{1}{2}\log|2x-3|$

(5)

4-x=tとおくと、x=4-t

dx/dt=-1, dx=-dt

よって

$\int-\sqrt{t}dt=-\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}(4-x)^{3}$

(6)

2x+3=tとおくと、x=(t-3)/2

dx/dt=1/2, dx=dt/2

よって

$\int t^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}dt=t^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2x+3}$

(7)

ax+b=tとおくと、 x=(t-b)/a

dx/dt=1/a, dx=dt/a

よって

$\int t^{n}\cdot\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a(n+1)}t^{n+1}=\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}$

(8)

5x=tとおくと、x=t/5

dx/dt=1/5, dx=dt/5

よって

$\int \sin t\cdot\frac{1}{5}dt=-\frac{1}{5}\cos t=-\frac{1}{5}\cos5x$

(9)

π/3 - x/2=tとおくと、x=2π/3-2t

dx/dt=-2, dx=-2dt

よって

$\int-2\cos tdt=-2\sin t=-2\sin(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2})$

(10)

ax+b=tとおくと、x=(t-b)/a

dx/dt=1/a, dx=dt/a

よって

$\int\sin t\cdot\frac{1}{a}dt=-\frac{1}{a}\cos t=-\frac{1}{a}\cos(ax+b)$

(11)

ax+b=tとおくと、x=(t-b)/a

dx/dt=1/a, dx=dt/a

よって

$\int \cos t\cdot\frac{1}{a}dt=\frac{\sin t}{a}=\frac{\sin(ax+b)}{a}$

(12)

-4x=tとおくと、x=-t/4

dx/dt=-1/4, dx=-dt/4

よって

$\int e^{t}(-\frac{1}{4})dt=-\frac{1}{4}e^{t}=-\frac{1}{4}e^{-4x}$

(13)

ax+b=tとおくと、x=(t-b)/a

dx/dt=1/a、dx=dt/a

よって

$\int e^{t}\cdot\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}e^{t}=\frac{1}{a}e^{ax+b}$

問12

以下、積分定数Cは省略。

(1)

$1+x^{2}=t$

とおくと、

dt/dx=2x, 2xdx=dt

よって

$\frac{1}{2}\int t^{3}dt=\frac{1}{8}t^{4}=\frac{1}{8}(1+x^{2})^{4}$

(2)

$1+x^{3}=t$

とおくと、

$\frac{dt}{dx}=3x^{2},\ 3x^{2}dx=dt$

よって、

$\frac{1}{3}\int t^{4}dt=\frac{1}{15}t^{5}=\frac{1}{15}(1+x^{3})^{5}$

(3)

sin x=tとおくと、

dt/dx=cos x, dt=cos x dx

よって

$\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}=\frac{1}{2}\sin^{2}x$

(4)

sin x=tとおくと、

dt/dx=cos x, dt=cos x dx

よって

$\int t^{2}dt=\frac{1}{3}t^{3}=\frac{1}{3}\sin^{3}x$

(5)

sin x=tとおくと、

dt/dx=cos x, dt=cos x dx

よって

$\int t^{5}dt=\frac{1}{6}t^{6}=\frac{1}{6}\sin^{6}x$

(6)

cos x=tとおくと、

dt/dx=-sin x, dt=-sin x dx

よって

$-\int t^{3}dt=-\frac{1}{4}t^{4}=-\frac{1}{4}\cos^{4}x$

(7)

$e^{x^{2}}=t$

とおくと、

$\frac{dt}{dx}=2xe^{x^{2}},\ dt=2xe^{x^{2}}dx$

よって

$\frac{1}{2}\int dt=\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}e^{x^{2}}$

(8)

log x=tとおくと、

dt/dx=1/x, dt=1/x dx

よって

$\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}=\frac{1}{2}(\log x)^{2}$

(9)

$x^{2}+x+1=t$

とおくと、

dt/dx=2x+1, dt=(2x+1)dx

よって

$\int \frac{1}{t}dt=\log|t|=\log|x^{2}+x+1|$

(10)

$1-x^{4}=t$

とおくと、

$\frac{dt}{dx}=-4x^{3},\ dt=-4x^{3}dx$

よって

$-\frac{1}{4}\int \frac{1}{t}dt=-\frac{1}{4}\log|t|=-\frac{1}{4}\log|1-x^{4}|$

(11)

cos x=tとおくと、

dt/dx=-sin x, dt=-sin x dx

よって、

$-\int\frac{1}{t}dt=-\log |t|=-\log|\cos x|$

(12)

$1+e^{x}=t$

とおくと、

$\frac{dt}{dx}=e^{x},\ dt=e^{x}dx$

よって、

$\int \frac{1}{t}dt=\log|t|=\log(1+e^{x})$

問13

(1)

x=3-t, dx/dt=-1

よって

$\int (t-3)t^{\frac{1}{2}}dt=\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}-2t^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}(3-x)^{\frac{5}{2}}-2(3-x)^{{\frac{3}{2}}$

(2)

$3-x=t^{2},\ x=3-t^{2},\ \frac{dx}{dt}=-2t,\ dx=-2tdt$

よって

$-2\int(3-t^{2})t^{2}dt=\frac{2}{5}t^{5}-2{t^{3}}=\frac{2}{5}(3-x)^{\frac{5}{2}}-2(3-x)^{\frac{3}{2}$

(3)

dt/dx=1/x, dt=1/x dx

よって、

$\int t^{2}dt=\frac{1}{3}t^{3}=\frac{(\log x)^{3}}{3}$

(4)

dt/dx=2x, dt=2xdt

よって

$\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=t^{\frac{1}{2}}=(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}$

(5)

dt/dx=2x, dt=2xdx

よって

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^{n}}dt=\frac{1}{2(-n+1)}t^{-n+1}=\frac{1}{2(1-n)}(x^{2}+1)^{1-n}$

Kamimura's blog

2010年11月18日木曜日

数学学習の記録 360 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、置換積分法

0 コメント:

コメントを投稿