数学学習の記録 358 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、x^{α}の不定積分

2010年11月16日火曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、x^{α}の不定積分の問7, 8を解いてみる。

問7

それぞれCは積分定数。x<0, x>0による場合分けは省略。

(1)

$-x^{-1}$ $-x^{-1}+C$

(2)

$\frac{x^{-5}}{5}+C$

(3)

$2x^{\frac{3}{2}}+C$

(4)

$-\frac{x^{\frac{4}{3}}}{4}+C$

(5)

$-2x^{-\frac{1}{2}}+C$

(6)

$8x^{\frac{3}{4}}+C$

問8

それぞれの積分定数Cは省略。x<0, x>0による場合分けは省略。

(1)

$\int (1-2x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{x})dx=x-4x^{\frac{1}{2}}+\log |x|+C$

(2)

$\int (1+\frac{2}{x}+x^{-2})dx=x+2\log |x| -x^{-1}$

(3)

$\int(x^{-2}-\frac{2}{x}+3-4x)dx=-x^{-1}-2\log |x|+3x-2x^{2}$

(4)

$\int (x^{\frac{1}{2}}+3+3x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{x})dx$

$=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+6x^{\frac{1}{2}}+\log |x|$