数学学習の記録 349 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問42, 43

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問42, 43を解いてみる。

問42

$t_{i}=\frac{1}{n}\ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ n)$

とおくと、

$t_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +t_{n}=1,\ t_{1}\geq0,\ \cdot\ \cdot\ \cdot,\ t_{n}\geq0$

となるので、問41より

$f\left(\frac{x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ x_{n}}{n}\right)\leq\frac{1}{n}(f(x_{1})+\ \cdot\ \cdot\ \dot\ +f(x_{n}))$

(証明終)

fがIにおいて凹(すなわたい上に凸)であるときには、対応する不等式は逆向き(>=)となる。

問43

f(x)=log xはx>0において上に凸なので、

$\log \frac{x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +x_{n}}{n}$

$\geq$ $\frac{1}{n}\cdot(\log x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \log x_{n})$

$=\log (x_{1}\ \cdot\ \cdot\ \cdot x_{n})^{\frac{1}{n}}$

また、f(x)は単調増加なので、

$\frac{x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ x_{n}}{n}\geq (x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ x_{n})^{\frac{1}{n}}$

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