数学学習の記録 347 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問37, 38, 39

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、凸関数の定義のいいかえの問37, 38, 39を解いてみる。

問37

問題の仮定より

$f(x)<f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

$=f(b)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$

が成り立つ。この式を変形すると、

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$

(証明終)

問38

問題の仮定より

$f(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)\leq\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)$

$f(\frac{a+b}{2})\leq\frac{f(a)+f(b)}{2}$

が成り立つ。等号が成り立つのは

$\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}b$

すなわち、a=bのとき。

(証明終)

問39

$f'(x)=px^{p-1},\ f''(x)=p(p-1)x^{p-2}$

仮定よりpは定数p>1なので

f''(x)>0 (x>0)

よってf(x)はx>0で下に凸となることから、問39より

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{p}\leq\frac{a^{p}+b^{p}}{2}$

これをを1/p乗すれば、

$\frac{a+b}{2}\leq\left(\frac{a^{p}+b^{p}}{2}\right)^{\frac{1}{p}}$

(証明終)

Kamimura's blog