2010年11月4日木曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.3(曲線の凹凸, 曲線をえがくこと)、グラフをえがくことの問36を解いてみる。


グラフはiPadのneu.Notesにより描いてます。

問36

(1)

f'(x)=12x^{3}+12x^{2}=12x^{2}(x+1)

f''(x)=12(3x^{2}+2x)=12x(3x+2)

これらの符号を調べると, f(x)の増減および凹凸について次の表が得られる。

x
-1
f'(x) - 0 +
f(x) 減 0 増

x
-2/3
0
f''(x) + 0 - 0 +
f(x) 下に凸 -16/27 上に凸 0 下に凸

f(-\frac{2}{3})=-\frac{8}{27}(-2+4)=-\frac{16}{27}

\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f(x)}=+\infty

よってグラフは以下のようになる。



(2)

f'(x)=-1+\frac{4}{x^{2}}

f''(x)=-\frac{8x}{x^{4}}=-\frac{8}{x^{3}}

これらの符号を調べると、f(x)の増減および凹凸について次の表が得られる。

x
-2
0
2
f'(x) - 0 +
- 0 +
f(x) 減 4 増
減 -4 増

x
0
f''(x) +
-
f(x) 下に凸
上に凸

また、

\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{\frac{1}{x}}=0

より、

x\rightarrow\pm\infty

のとき、曲線はy=-xに限りなく近づく。よってグラフは以下のようになる。



(3)

f'(x)=-2xe^{-x^{2}}

f''(x)=-2e^{-x^{2}}-2x(-2xe^{-x^{2}})

=-2e^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}

=2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)

x
0
f'(x) + 0 -
f(x) 増 1 減

x
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\frac{1}{\sqrt{2}}
f''(x) + 0 - 0 +
f(x) 下に凸 e^{-\frac{1}{2}} 上に凸 e^{-\frac{1}{2}} 下に凸

グラフは以下のようになる。



(4)

f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)

f''(x)=-e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x}=e^{-x}(x-2)

x
1
f'(x) + 0 -
f(x) 増 1/e 減

x
2
f''(x) - 0 +
f(x) 上に凸 2e^{-2} 下に凸

グラフは以下のようになる。




(5)

f'(x)=\frac{2x(x^{2}+1)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}

=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}

f''(x)=\frac{2(x^{2}+1)^{2}-2x\cdot2(x^{2}+1)\cdot2x}{(x^{2}+1)^{4}}

=\frac{2(-3x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{3}}

x
0
f'(x) - 0 +
f(x) 減 0 増

x
-\frac{1}{\sqrt{3}}
\frac{1}{\sqrt{3}}
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 上に凸 1/4 下に凸 1/4 上に凸

\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f(x)}=1

問題の関数のグラフは以下のようになる。



(6)

f'(x)=\frac{1-\log x}{x^{2}}

f''(x)=\frac{-x-(1-\log x)2x}{x^{4}}

=\frac{-3+2\log x}{x^{3}}

x 0
e
f'(x)
+ 0 -
f(x)
増 1/e 減

x 0
e^{\frac{3}{2}}
f''(x)
-
+
f(x)
上に凸 \frac{3}{2e^{\frac{3}{2}}} 下に凸

\lim_{x\rightarrow+0}{f(x)}=-\infty

\lim_{x\rightarrow+\infty}{f(x)}=0

よってグラフは以下のようになる。


時刻: 18:13 ラベル: , , , ,

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