2010年11月1日月曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問29, 30を解いてみる。



問29

(1)

点A(x, 0), 点B(0, y)とおくと、三角形OABの面積は

S=\frac{1}{2}xy

また、点Aと点Bを通る直線は点P(1, 2)も通るので、

\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1

y=\frac{2x}{x-1}

よって

S=\frac{x^{2}}{x-1}

\frac{dS}{dx}=\frac{2x(x-1)-x^{2}}{(x-1)^{2}}

=\frac{x^{2}-2}{(x-1)^{2}}

増減表

x 1
\sqrt{2}
S'
- 0 +
S
減
増

よって求める三角形OABの面積の最小値は

S=\frac{2}{\sqrt{2}-1}=2(\sqrt{2}+1)

(2)

線分ABの長さの二乗は

AB^{2}=x^{2}+y^{2}

=x^{2}+\left(\frac{2x}{x-1}\right)^{2}

これを微分すると

\frac{dAB^{2}}{dx}=2x+2\cdot\left(\frac{2x}{x-1}\right)\cdot\frac{2(x-1)-2x}{(x-1)^{2}}

=x\cdot\left(2-\frac{8}{(x-1)^{3}}\right)

よって

\frac{8}{(x-1)^{3}}=2

4=(x-1)^{3}

x=4^{\frac{1}{3}}+1

となり増減表は

x 1
4^{\frac{1}{3}}+1
AB^{2}'
- 0 +
AB^{2}
減
増

よって求める線分ABの長さの最小値は
AB=((4^{\frac{1}{3}}+1)^{2}+\frac{4(4^{\frac{1}{3}}+1)^{2}}{4^{\frac{2}{3}}})^{\frac{1}{2}}

=(4^{\frac{1}{3}}+1)^{\frac{3}{2}}


問30

ヒント通りy=mxとおくと周の長さは

f(m)=\frac{m+2}{m}(m+1+(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}})

よってこの関数をmについて微分すると、

f'(m)=\frac{m-(m+2)}{m^{2}}(m+1+(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}})
                +\frac{m+2}{m}(1+\frac{1}{2}(m^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2m)

=\frac{-2(m+1+(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}})}{m^{2}}+\frac{(m+2)((m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+m)}{m(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}

=\frac{-2((m+1)(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+1)+m(m+2)((m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+m)}{m^{2}(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}}

=\frac{(m^{2}-2)(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}+m^{3}-2}{m^{2}(m^{2}+1)^{\frac{1}{2}}}

よってf'(m)=0となるのは

(m^{2}-2)^{2}(m^{2}+1)=(m^{6}-4m^{3}+4)

(m^{4}-4m^{2}+4)(m^{2}+1)=m^{6}-4m^{3}+4

3m^{4}-4m^{3}=0

m^{3}(3m-4)=0

m=\frac{4}{3}

のときなので求める三角形OABの周の長さの最小値は

f(\frac{4}{3})=\frac{5}{2}(\frac{7}{3}+\frac{5}{3})=10
時刻: 18:16 ラベル: , , , ,

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