数学学習の記録 342 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問27, 28

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問27, 28を解いてみる。

問27

高さxのときの照度をf(x), kをある定数とすると、

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\cdot\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\cdot k$

$f(x)=x(x^{2}+a^{2})^{-\frac{3}{2}}k$

となるので、

$f'(x)=k((x^{2}+a^{2})^{-\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x(x^{2}+a^{2})^{-\frac{5}{2}}2x)$

$=k(x^{2}+a^{2})^{-\frac{5}{2}}((x^{2}+a^{2})-3x^{2})$

$=k(x^{2}+a^{2})^{-\frac{5}{2}}(a^{2}-2x^{2})$

よって増減表は

よって求める高さは

$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$

問28

問題の仮定より、

$S=\pi r\sqrt{h^{2}+r^{2}}$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$S^{2}=\pi^{2}r^{2}(h^{2}+r^{2})$

$h^{2}=\frac{S^{2}-\pi^{2}r^{4}}{\pi^{2}r^{2}}$

$V^{2}=\frac{1}{9}\pi^{2}r^{4}\cdot\frac{S^{2}-\pi^{2}r^{4}}{\pi^{2}r^{2}}$

$=\frac{r^{2}(S^{2}-\pi^{2}r^{4})}{9}$

これをrについて微分すると、

$\frac{dV^{2}}{dr}=\frac{1}{9}(2r(S^{2}-\pi^{2}r^{4})-r^{2}4\pi^{2}r^{3})$

$=\frac{2r}{9}(S^{2}-3\pi^{2}r^{4})$

よって

$S^{2}=3\pi^{2}r^{4}$

のときVは最大となる。このとき

$h^{2}=\frac{3\pi^{2}r^{4}-\pi^{2}r^{4}}{\pi^{2}r^{2}}=2r^{2}$

よって求めるSを一定にしてVを最大にするrとhの比は

$r\ :\ h=1\ :\ \sqrt{2}$

Kamimura's blog