数学学習の記録 341 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問24, 25, 26

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問24, 25, 26を解いてみる。

問24

(1)

長方形の面積を

$f(\theta)=2\cos\theta\cdot\sin\theta=\sin2\theta$

とおく。

$f'(\theta)=2\cos2\theta$

よって増減表は

θ	0		π/4		π/2
f'(θ)		+	0	-
f'(θ)		増		減

よってθ=π/4のとき問題の長方形の面積は最大になる。ゆえに、

$f(\frac{\pi}{4})=\sin\frac{\pi}{2}=1$

(2)

周の長さを

$g(\theta)=2\(\sin\theta+2\cos\theta)$

とおく。

$g'(\theta)=2(\cos\theta-2\sin\theta)$

よって

tan θ = 1/2のとき問題の長方形の周の長さは最大値をとる。このとき

$OB\ :\ OC\ :\ BC=2\ :\ \sqrt{5}\ :\ 1$

となるので、求める問題の長方形の周の長さの最大値は

$2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=2\sqrt{5}$

問25

角OPBを

$\theta_{0}$

とおくと、

$\tan(\theta_{0}-\theta)=\frac{\tan\theta_{0}-\tan\theta}{1+\tan\theta_{0}\tan\theta}$

$\frac{9}{x}=\frac{\frac{16}{x}-\tan\theta}{1+\frac{16}{x}\tan\theta}$

$9(x+16\tan\theta)=16x-x^{2}\tan\theta$

$\tan\theta=\frac{7x}{144+x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\tan\theta=\frac{7(144+x^{2})-7x\cdot2x}{(144+x^{2})^{2}}$

$144+x^{2}-2x^{2}=0$

よって角θが最大となるのはx=12のとき。

問26

扇形の面積をS, 半径をr, 中心角をθとおくと、

$S=r^{2}\pi\frac{\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^{2}\theta$

また、周囲の長さが12mなので、

$2r+r\theta=12$

$\theta=\frac{12}{r}-2$

よって

$S=\frac{1}{2}r^{2}\left(\frac{12}{r}-2\right)$

$=-r^{2}+6r$

$\frac{dS}{dr}=-2r+6$

r=3のとき面積は最大値をとる。よって求める扇形の半径の長さ、中心角、面積はそれぞれ

r=3m, θ=2ラジアン, S=9m^{2}

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2010年10月30日土曜日

数学学習の記録 341 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問24, 25, 26

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