2010年10月29日金曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問21, 22, 23を解いてみる。



問21

問題の曲線上の点(x, y)と点(4,0)との距離の二乗を

f(x)=(x^{3})^{2}+(x-4)^{2}

=x^{6}+(x-4)^{2}

とおくと、

f'(x)=6x^{5}+2(x-4)

=6x^{5}+2x-8

=2(x-1)(3x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+3x+4)

よって求める点(4,0)に最も近い点は(1, 1)となる。


問22

(1)

問題の曲線所の点(x, y)と直線y=xとの距離の二乗を

f(x)=\frac{(e^{x}-x)^{2}}{2}

とおくと、

f'(x)=e^{x}-1

よって求める距離が最小となる点は(0, 1)

(2)

問題の両曲線が直線y=xに関して対称なので、(1)より最小値をとる点A, Bはそれぞれ(0, 1), (1, 0)となる。この2点の距離を求めると\sqrt{2}となる。


問23

点Pから直線lに下ろした点と点Rの距離をx、距離PR, QRの和をf(x)とおくと、

f(x)=\sqrt{p^{2}+x^{2}}+\sqrt{q^{2}+(a-x)^{2}}

f'(x)=\frac{1}{2}(p^{2}+x^{2})^{-\frac{1}{2}}2x+\frac{1}{2}(q^{2}+(a-x)^{2})^{-\frac{1}{2}}2(x-a)

=\frac{x}{\sqrt{p^{2}+x^{2}}}+\frac{x-a}{\sqrt{q^{2}+(a-x)^{2}}}

=\frac{x\sqrt{q^{2}+(a-x)^{2}}+\sqrt{p^{2}+x^{2}}(x-a)}{\sqrt{(p^{2}+x^{2})(q^{2}+(a-x)^{2})}}

x^{2}(q^{2}+(a-x)^{2})=(p^{2}+x^{2})(x-a)^{2}

(q^{2}-p^{2})x^{2}+2ap^{2}x-a^{2}p^{2}=0

((q+p)x- ap)((q-p)x+ap)=0

よって

x=\frac{ap}{p+q}

のとき最小値

f(\frac{ap}{p+q})=\sqrt{p^{2}+(\frac{ap}{p+q})^{2}}+\sqrt{q^{2}+(a-\frac{ap}{p+q})^{2}}

=\sqrt{\frac{p^{2}(p+q)^{2}+a^{2}p^{2}}{(p+q)^{2}}}+\sqrt{\frac{q^{2}(p+q)^{2}+a^{2}q^{2}}{(p+q)^{2}}}

=\frac{p\sqrt{(p+q)^{2}+a^{2}}+q\sqrt{(p+q)^{2}+a^{2}}}{p+q}

=\sqrt{(p+q)^{2}+a^{2}}

となる。
時刻: 17:50 ラベル: , , , ,

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