数学学習の記録 339 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問18, 19, 20

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、最大・最小問題の問18, 19, 20を解いてみる。

問18

$f'(x)=3x^{2}-12=3(x^{2}-4)$

増減表

よって最大値75, 最小値-6となる。

問19

y=1-x, 0<=x<=1

$f(x)=x^{3}+2(1-x)^{3}$

とおくと、

$f'(x)=3x^{2}-6(1-x)^{2}$

$=-3(x^{2}-4x+2)$

f'(x)=0の解を求める。(0<=x<=1に注意)

$x=2-\sqrt{2}$

増減表

$f(2-\sqrt{2})=(2-\sqrt{2})^{3}+2(\sqrt{2}-1)^{3}$

$=8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-12+6\sqrt{2}-2$

$=6-4\sqrt{2}$

よって最大値2, 最小値

$6-4\sqrt{2}$

となる。

問20

直円柱の底辺の半径をr, 高さをh, 表面積をS, 体積をVとおく。

$S=2\pi r^{2}+2\pi r h$

$h=\frac{S}{2\pi r}-r$

$V=r^{2}\pi h$

$=r^{2}\pi\left(\frac{S}{2\pi r}-r\right)$

$=\frac{rS}{2}-r^{3}\pi$

$\frac{d}{dr}V=\frac{S}{2}-3r^{2}\pi$

増減表

$\frac{S}{2}-3r^{2}\pi=0$

$r^{2}=\frac{S}{6\pi}$

$h^{2}=\frac{S^{2}}{4\pi^{2}r^{2}}-\frac{S}{\pi}+r^{2}$

$=\frac{S^{2}}{4\pi^{2}\frac{S}{6\pi}}-\frac{S}{\pi}+\frac{S}{6\pi}$

$=\frac{9S-6S+S}{6\pi}=\frac{4S}{6\pi}$

よって底面の半径の2乗と高さの2乗の比は1:4。

ゆえに、求める半径と高さの比は1:2。

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