数学学習の記録 338 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、不等式・方程式への応用の問15, 16, 17

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、不等式・方程式への応用の問15, 16, 17を解いてみる。

問15

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}+a$

とおくと、

$f'(x)=6x^{2}-6x=6x(x-1)$

増減表

よって求める方程式の異なる実数解の個数は

a<0のとき1個

a=0のとき2個

0<a<1のとき3個

a=1のとき2個

a>1のとき1個

問16

$f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}\ (x\ne1)$

とおくと、

$f'(x)=\frac{3x^{2}(x-1)-x^{3}}{(x-1)^{2}}$

$=\frac{x^{2}(2x-3)}{(x-1)^{2}}$

増減表

よって問題の3次方程式が異なる3個の実数解を持つようなaの値の範囲は

a>27/4

問17

$f(x)=\frac{\log x}{x}$

とおくと、

$f'(x)=\frac{1-\log x}{x^{2}}$

増減表

よって問題の方程式の異なる実数解の個数は

m<=0のとき1個

0<m<1/eのとき2個

m=1/eのとき1個

m>1/eのとき0個

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