2010年10月26日火曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、不等式・方程式への応用の問12, 13, 14を解いてみる。



問12

g(x)=f(x)e^{-x}

とおくと

g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}

=(f'(x)-f(x))e^{-x}>0\ (x\in(0,\ \infty))

よってgは0より大きいとき単調増加関数なので

g(x)>g(0)=1

f(x)e^{-x}>1

f(x)>e^{x}


問13

(1)

f'(t)=a-at^{a-1}

=a(1-t^{a-1})

a>0, b>0, a+b=1より0<a<1, a-1<0

よって関数f(t) (t>0)の増減表は)

x 0
1
f'(t)
- 0 +
f(t)
減 0 増

よって

t>0のとき

f(t)=at+b-t^{a}\geq0

at+b\geq t^{a}

(2)

(1)のtにx/yを代入して両辺にyをかけると、

ax+by\geq x^{a}y^{1-a}=x^{a}y^{b}

(証明終)


問14

(1)

f'(x)=(n+1)\left(\frac{b+x}{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}-\left(\frac{b}{n}\right)^{n}

=\left(\frac{b+x}{n+1}\right)^{n}-\left(\frac{b}{n}\right)^{n}

増減表

x 0
b/n
f'(x)
- 0 +
f(x)
減 0 増

よって

\left(\frac{b+x}{n+1}\right)^{n+1}\geq \left(\frac{b}{n}\right)^{n}x

(証明終)

(2)

n=1のとき

a_{1}=a_{1}

成り立つ。

nのとき成り立つと仮定し、

(1)に

b=a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}

x=a_{n+1}

を代入すると、

\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}+a_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}\geq\left(\frac{a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}}{n}\right)^{n}\cdot a_{n+1}

\geq a_{1}a_{2}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ a_{n}a_{n+1}=a_{1}a_{2}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ a_{n+1}

よってn+1のときも成り立つ。よって帰納法より任意のnに対して成り立つ。

(証明終)
時刻: 17:57 ラベル: , , , ,

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