数学学習の記録 334 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、導関数の符号と関数の増減の問5

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、導関数の符号と関数の増減の問5を解いてみる。

問5

求める3次関数を

とおく。この関数を微分すると、

また、3次関数が極大値、極小値をもつので

(1)

x=-1で極大値10, x=2で極小値-17をとるので

-a+b-c+d=10

3a-2b+c=0

8a+4b+2c+d=-17

12a+4b+c=0

この連立方程式を解く。

d=a-b+c+10

c=-3a+2b

d=a-b-3a+2b+10

d=-2a+b+10

8a+4b-6a+4b-2a+b+10=-17

9b=-27

b=-3

12a+4b-3a+2b=0

9a+6b=0

3a+2b=0

3a-6=0

a=2

b=-3

c=-12

d=3

よって求める3次関数は

となる。

(2)

x=0のとき極小値-8をとるので、

d=-8

c=0

点(2, 0)でグラフがx軸に接するので

8a+4b-8=0

12a+4b=0

2a+b=2

3a+b=0

a=-2

b=6

よって求める3次関数は

となる。