数学学習の記録 329 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問66

2010年10月18日月曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問66を解いてみる。

問66

(1)

問題の球の半径をr, 体積をS, 経過秒数をtとおく。そのとき、

$S=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

r=2t

$S=\frac{32}{3}\pi t^{3}$

この両辺をtで微分すると

$\frac{dS}{dt}=32\pi t^{2}$

半径が3cmとなる瞬間は

3=2t

t=3/2

よって

$32\pi\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=72\pi$

ゆえに球の体積は72π cm^{3}/秒の割合で増加します。

(2)

球の表面積をS'とおくと、

$S'=4\pi r^{2}$

$\frac{dS'}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}$

よって

$3=8\pi\cdot4\cdot\frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt}=\frac{3}{32\pi}$

$\frac{dS}{dt}=4\pi\cdot4^{2}\cdot\frac{dr}{dt}=6$

ゆえに球の体積は6cm^{3}/秒の割合で増加します。