数学学習の記録 328 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問63-65

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、速度・加速度, その他の変化率の問63, 64, 65を解いてみる。

問63

速度

$f'(t)=3t^{2}-6t$

加速度

f''(t)=6t-6

(1)

求める速度、加速度はそれぞれ

24, 18

(2)

速度が0になる時刻は

t=0, 2

(3)

加速度が0になる時刻は

t=1

問64

曲線の両辺を時間tについて微分すると

$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}\cdot\frac{dx}{dt}$

x座標は毎秒5の割合で増加しているので

$\frac{dx}{dt}=5$

よってx座標が5となる瞬間は

$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{5}\cdot5=1$

ゆえにx座標が5となる瞬間にy座標は毎秒1の割合で増加している。

問65

円の面積をS, 半径をrとすると、

$S=\pi r^{2}$

この両辺を時間tで微分すると

$\frac{dS}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}$

円の面積は毎秒

$10\pi(cm^{2})$

の割合で増加しているので

$\frac{dS}{dt}=10\pi$

よって

$\frac{dr}{dt}=\frac{10\pi}{2\pi r}=\frac{5}{r}$

故に、半径が2.5cm, 5cm, 10cmのときの半径の増加率はそれぞれ2cm/秒, 1cm/秒, 0.5cm/秒となる。

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