数学学習の記録 327 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、高次導関数の問61, 62

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、高次導関数の問61, 62を解いてみる。

問61

n=1のとき

$\frac{d}{dx}(x\log x})=\log x+1$

$\frac{d^{1+1}}{dx^{1+1}}(x\log x)=\frac{1}{x}=\frac{1!}{x}$

よって成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、

$\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}(x^{k}\log x)=\frac{k!}{x}$

となる。また、

$\frac{d}{dx}(x^{k+1}\log x)=(k+1)x^{k}\log x+x^{k}$

となる。ゆえに、

$\frac{d^{(k+1)+1}}{dx^{(k+1)+1}}(x^{k+1}\log x)=(k+1)\frac{k!}{x}$

$=\frac{(k+1)!}{x}$

よって数学的帰納法より問題の等式は成り立つ。

(証明終)

問62

(1)

$f'(x)=-\frac{a}{x}\sin (\log x)+\frac{b}{x}\cos(\log x)$

$=\frac{b\cos(\log x)-a\sin(\log x)}{x}$

$f''(x)=\frac{(-b\sin(\log x)-a\cos(\log x))-(b\cos(\log x)-a\sin(\log x))}{x^{2}}$

よって問題の等式は成り立つ。

(証明終)

(2)

n=0のときは成り立つ。

n=kのとき成り立つの仮定すると、

$x^{k}f^{(k)}(x)=a_{k}\cos(\log x)+b_{k}\sin(\log x)$

この両辺をxについて微分すると

$kx^{k-1}f^{(k)}(x)+x^{k}f^{(k+1)}(x)=\frac{-a_{k}\sin(\log x)+b_{k}\cos(\log x)}{x}$

$kx^{k}f^{(k)}(x)+x^{k+1}f^{(k+1)}(x)=-a_{k}\sin(\log x)+b_{k}\cos(\log x)$

$x^{k+1}f^{(k+1)}(x)=(-ka_{k}+b_{k})\cos(\log x)+(-a_{k}-kb_{k})\sin(\log x)$

よって数学的帰納法よりすべての整数n=0, 1, 2, ・・・について成り立つ。

(証明終)

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