数学学習の記録 326 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、高次導関数の問58-60 | Kamimura's blog

2010年10月15日金曜日

数学学習の記録 326 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、高次導関数の問58-60

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、高次導関数の問58, 59, 60を解いてみる。

問58

(1)

$f'(x)=5(x^{2}+1)^{4}2x$

$f^{(2)}(x)=10(x^{2}+1)+10x(4(x^{2}+1)^{3}2x)$

$=10(x^{2}+1)+80x^{2}(x^{2}+1)^{3}$

(2)

$f'(x)=3x^{2}+3$

$f^{(2)}(x)=6x$

$f^{(3)}(x)=6$

(3)

0

(4)

$f'(x)=2e^{2x}$

$f^{(4)}(x)=16e^{2x}$

(5)

$f'(x)=\cos x$

$f^{(2)}(x)=-\sin x$

$f^{(3)}(x)=-\cos x$

$f^{(4)}(x)=\sin x$

$f^{(7)}(x)=-\cos x$

(6)

$f^{(10)}(x)=-\sin x$

(7)

$f^{(2)}(x)=-\cos x$

(8)

$f^{(11)}(x)=\sin x$

(9)

$f'(x)=\frac{1}{x}$

$f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}$

(10)

$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$

$f''(x)=\frac{2}{x^{3}}$

$f'''(x)=-\frac{6}{x^{4}}$

$f^{(4)}(x)=\frac{24}{x^{5}}$

問59

(1)

(fg)'=f'g+fg'

(fg)''=f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''

(2)

(fg)'''=f'''g+f''g'+2f''g'+2f'g''+f'g''+fg'''

=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''

(3)

$(fg)^{(n)}=f^{(n)}g+{}_{n}C_{n-1}f^{(n-1)}g'+{}_{n}C_{n-2}f^{(n-2)}g^{(2)}+$

$\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +{}_{n}C_{2}f^{(2)}g^{(n-2)}+{}_{n}C_{1}f'g^{(n-1)}+fg^{(n)}$

問60

n=1のとき

$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(-1)^{1}(x-1)e^{-x}$

n=kのとき成り立つと仮定すると、

$f^{(k)}(x)=(-1)^{k}(x-k)e^{-x}$

$f^{(k+1)}(x)=(-1)^{k}(e^{-x}-(x-k)e^{-x})$

$=(-1)^{k+1}(x-(k+1)e^{-x})$

よって数学的帰納法により成り立つ。

(証明終)

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