数学学習の記録 324 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、累乗の微分

2010年10月13日水曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、累乗の微分の問54を解いてみる。

問54

(1)

問題の関数の両辺の対数をとると、

$\log y=(\log x)^{2}$

この両辺をxについて微分すると

$\frac{y'}{y}=\frac{2}{x}\log x$

よって

$y'=y\cdot\frac{2}{x}\log x$

$=2x^{\log x-1}\log x$

(2)

問題の関数の両辺の対数をとると

$\log y=x^{x}\log x$

もう一度この両辺の対数をとると

$\log(\log y)=x\log x+\log(\log x)$

この両辺をxについて微分すると

$\frac{y'}{y\log y}=\log x+1+\frac{1}{x\log x}$

よって

$y'=y\log y\cdot(\log x+1+\frac{1}{x\log x})$

$=x^{x^{x}}\log x^{x^{x}}(\log x+1+\frac{1}{x\log x})$

$=x^{x^{x}}(x^{x}(\log x)^{2}+x^{x}\log x+x^{x-1})$