数学学習の記録 321 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数の微分 | Kamimura's blog

2010年10月9日土曜日

数学学習の記録 321 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数の微分

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数の微分の問44, 45, 46を解いてみる。

問44

$(\cot x)'=\left(\frac{1}{\tan x}\right)'$

$=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=\frac{-\sin^{2}-\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=-\frac{1}{\sin^{2}x}$

問45

(1)

3cos3x

(2)

-2sin2x

(3)

$\frac{4}{\cos^{2}4x}$

(4)

2sin x cos x

(5)

$-5\cos^{4}x\sin x$

(6)

$\frac{2\tan x}{\cos^{2}x}$

(7)

$4x\cos(2x^{2}-3)$

(8)

$\frac{4x^{3}-3x^{2}}{\cos^{2}(x^{4}-x^{3})}$

(9)

$\cos^{2}x-\sin^{2}x$

(10)

$-\frac{3}{\sin^{2}(3x-4)}$

(11)

$6\sin^{2}2x\cos2x$

(12)

$\frac{1}{2}\cdot(-\sin x)^{-\frac{1}{2}}$

(13)

$\frac{-\sin x(1-\sin x)+\cos^{2}x}{(1-\sin x)^{2}}=\frac{1}{1-\sin x}$

(14)

$\frac{-\frac{1}{\cos^{2}x}(1+\tan x)-(1-\tan x)\frac{1}{\cos^{2}x}}{(1+\tan x)^{2}}$

$=-\frac{2}{\cos^{2}x(1+\tan x)^{2}}$

問46

それぞれ問題の曲線の導関数、支持した点に置ける接線の傾きを示す。

(1)

y'=cos x, 傾き $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2)

y'=-sin x, 傾き $-\frac{1}{2}$

(3)

$y'=\cos^{2}x-\sin^{2}x$

傾き -1

(4)

$y'=\frac{1}{\cos^{2}x}$

傾き 1/2

(5)

$y'=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}$

傾き

$-\frac{\frac{1}{2}}{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$

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