数学学習の記録 320 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数についての基本的な極限 | Kamimura's blog

2010年10月8日金曜日

数学学習の記録 320 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数についての基本的な極限

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.5(いろいろな関数の導関数)、三角関数についての基本的な極限の問43を解いてみる。

問43

(1)

$\lim_{x\rightarrow0}{3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}=3$

(2)

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}}=\frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{\theta\rightarrow0}{2\theta\cdot\frac{\sin 2\theta}{2\theta}\cdot\frac{\cos3\theta}{3\theta}\cdot\frac{3\theta}{\sin3\theta}}=\frac{2}{3}$

(4)

$\lim_{\theta\rightarrow0}{\frac{\sin2\theta \cos5\theta+\cos2\theta\sin5\theta+\sin5\theta}{\sin2\theta}}$

$=\lim_{\theta\rightarrow0}{(\cos5\theta+\frac{\sin5\theta(\cos2\theta+1)}{\sin2\theta})}$

$=1+\lim_{\theta\rightarrow0}{\frac{5\theta}{2\theta}\cdot\frac{\sin5\theta}{5\theta}\cdot\frac{2\theta}{\sin2\theta}\cdot(\cos2\theta}+1)}=6$

(5)

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin^{2}x}{x(1+\cos x)}}$

$=\lim_{x\rightarrow0}{\sin x\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{1+\cos x}}$

(6)

$\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2\sin^{2}x}{x^{2}}=2$

(7)

$x=\pi-\theta$

とおくと、

$\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{x}$

また、

$\theta\rightarrow\pi\Rightarrow x\rightarrow0$

より、求め鵜極限は-1。

(8)

y=1/xとおくと、

$\frac{1}{y}\sin y=\frac{\sin y}{y}$

また、

$x\rightarrow\infty\Rightarrow y\rightarrow0$

より求める極限は1。

(9)

$\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\leq |x|$

より求める極限は0。

(10)

$1-x^{2}=y$

とおくと、

$\frac{\cos^{2}\frac{\pi}{4}(1-y)-\sin^{2}\frac{\pi}{4}(1-y)}{y}$

$=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sin^{2}\frac{\pi}{4}y-\cos^{2}\frac{\pi}{4}y}{\frac{\pi}{4}y}$

$=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1+2\sin^{2}\frac{\pi}{4}y}{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}$

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)