数学学習の記録 316 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、曲線の接線の問34, 35, 36 | Kamimura's blog

2010年10月4日月曜日

数学学習の記録 316 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、曲線の接線の問34, 35, 36

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、曲線の接線の問34, 35, 36を解いてみる。

問34

問題の関数の点

$\left(a,\ \frac{1}{3}a^{3}+a^{2}-3a\right)$

における接線は

$y-\left(\frac{1}{3}a^{3}+a^{2}-3a\right)=(a^{2}+2a-3)(x-a)$

$y=(a^{2}+2a-3)x-\frac{2}{3}a^{3}-a^{2}$

(1)

接線の傾きが5のとき

$a^{2}+2a-3=5$

$a^{2}+2a-8=0$

(a+4)(a-2)=0

a=-4, 2

よって求める接線とグラフとの接点のx座標は

$y=5x+\frac{128}{3}-16$

$y=5x+\frac{80}{3}$

x=-4

$y=9x-\frac{20}{3}$

x=2

の2つ。

(2)

x軸に平行ということは傾きが0ということなので

$a^{2}+2a-3=0$

(a+3)(a-1)=0

a=-3, 1

よって求める接線とグラフの接点のx座標は

y=0, x=-3

y=5/3, x=1

(3)

接線が点(0, -27)を通るので、

$-27=-\frac{2}{3}a^{3}-a^{2}$

$2a^{3}+3a^{2}-81=0$

$(a-3)(2a^{2}+9a+27)=0$

a=3

求める接線とグラフと接点のx座標は

y=9x-27, x=3

問35

(1)

点P

$P\left(x_{0},\ \frac{k}{x_{0}}\right)$

における接線の方程式は

$y-\frac{k}{x_{0}}=-\frac{k}{x_{0}^{2}}(x-x_{0})$

この接線がx軸, y軸と交わる点Q, Rはそれぞれ

$Q(2x_{0},\ 0),\ R(0,\ \frac{2k}{x_{0}})$

よって点Pは点Q, Rの中点である。

(証明終)

(2)

三角形OQRの面積は

$\frac{1}{2}\cdot 2x_{0}\cdot\frac{2k}{x_{0}}=2k$

よって点Pの位置に関係なく一定である。

(証明終)

問36

点P

$P(a,\ \sqrt{a})$

における接線の傾きは

$\frac{1}{2\sqrt{a}$

よって法線の傾きは

$-2\sqrt{a}$

よって点Pを通る法線の方程式は

$y-\sqrt{a}=-2\sqrt{a}(x-a)$

この直線がx軸と交わる点Nは

$N(\frac{1}{2}+a,\ 0)$

点Hの座標は(a, 0)となるのでHNの長さは点Pの位置に関係なく1/2である。

(証明終)

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