数学学習の記録 313 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問27, 28, 29

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.3(導関数とその計算)、積および商の微分の問27, 28, 29を解いてみる。

問27

(1)

$f'(x)=(3x^{2}+4x)(x-1)+(x^{3}+2x^{2})$

$=4x^{3}+3x^{2}-4x$

(2)

$f'(x)=2x(2x^{2}+x-3)+(x^{2}-1)(4x+1)$

$=8x^{3}+3x^{2}-10x-1$

(3)

$f'(x)=(6x^{2}-6x)(5x^{2}+4)+(2x^{3}-3x^{2})10x$

$=50x^{4}-60x^{3}+24x^{2}-24x$

(4)

$=24x^{2}+12x-17$

問28

n=1のとき

$1(f(x))^{1-1}f'(x)=f'(x)$

よって成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、

$((f(x))^{k})'=k(f(x))^{k-1}f'(x)$

となるので、

$((f(x))^{k+1})'=(f(x)(f(x))^{k})'$

$=f'(x)(f(x))^{k}+f(x)((f(x))^{k})'$

$=f'(x)(f(x))^{k}+k(f(x))^{k}f'(x)$

$=(k+1)(f(x))^{k}f'(x)$

よってn=k+1のときも成り立つ。

よってnに関する数学的帰納法により、すべての正の整数nに対して問題の公式は成り立つ。

(証明終)

問29

(1)

$2(5x^{3}+2)15x^{2}=150x^{5}+60x^{2}$

(2)

$3(2x^{2}-2x+1)(4x-2)$

(3)

$4(x^{2}-3x)^{3}(2x-3)$

(4)

$5(x+1)^{4}(3x-2)^{3}+(x+1)^{5}3(3x-2)^{2}3$

途中から展開するのが手間になってきたので展開は省略。

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