問20
g(x)=f(x)-m
とおくと、
g(a)=f(a)-m, g(b)=f(b)-m
となる。また、
f(a)<m<f(b) または f(b)<m<f(a)
なので
g(a)+m<m<g(b)+m または g(b)+m<m<g(a)+m
すなわち、
g(a)<0, g(b)>0 または g(b)<0, g(a)>0
かつ、g(x)は閉区間[a, b]で連続なので中間値の定理よりあるaとbの間に
g(c)=0
となるようなcが少なくとも1つ存在する。
よって、
f(c)-m=0
f(c)=m
(証明終)
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