数学学習の記録 308 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問17, 18, 19

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.2(関数の連続性)、中間値の定理の問17, 38, 19を解いてみる。

問17

とおくと

f(2)=3, f(0)=-5

また関数f(x)は閉区間[0, 2]において連続なので、中間値の定理より、

f(c)=0 (0<c<2)

となるようなcが少なくとも1つ存在する。よって問題の方程式は2より小さい正の解をもつ。

(証明終)

問18

(1)

f(x)=sin x - x cos x

とおくと、

f(π)=π, f(3π/2)=-1

よって中間値の定理より問題の方程式は区間(π, 3π/2)に実数解をもつ。

(2)

とおくと、

f(2)=-1, f(3)=11

よって中間値の定理より問題の方程式は区間(2, 3)に実数解をもつ。

(3)

$f(x)=\log_{10}x-\frac{x}{20}$

とおくと、

f(10)=1/2, f(100)=-3

よって中間値の定理より問題の方程式は区間(10, 100)に実数解をもつ。

問18

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{1}x+a_{0}$

とおくと、f(x)は奇数次の方程式なので、

$\lim_{x\rightarrow\pm}{f(x)}=\pm\infty$ (複合同順)

または、

$\lim_{x\rightarrow\pm}{f(x)=\mp\infty$ 　(複合同順)

となる。奇関数のグラフを考えれば明らかだけど一応証明。

$f(x)=x^{n}(a_{n}+\frac{a_{n-1}}{x}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{a_{1}}{x^{n-1}}+\frac{a_{0}}{x^{n}})$

$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{f(x)}=x^{n}a_{n}$

$a_{n}>0$

のとき、

$\lim_{x\rightarrow+\infty}{f(x)}>0$

かつ、

$\lim_{x\rightarrow-\infty}{f(x)}<0$

$a_{n}<0$

のときは上記の逆が成り立つ。

よって中間値の定理より、実数を係数とする奇数次の方程式はすくなくとも1つの実数解をもつ。

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2010年9月26日日曜日