数学学習の記録 306 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問13

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問13を解いてみる。

問13

点PQを通る直線の方程式は

$y=\frac{v}{u-1}(x-1)$

よって直線PQが漸近線y=xと交わる点Rの座標は

$\left(\frac{v}{v-u+1},\ \frac{v}{v-u+1}\right)$

また、点Q(u, v)は双曲線

$x^{2}-y^{2}=1$

上の第1象限の点より、

$u^{2}-v^{2}=1$

$v=\sqrt{u^{2}-1}$

よって

$QR^{2}=\left(\frac{v}{v-u+1}-u\right)^{2}+\left(\frac{v}{v-u+1}-v\right)^{2}$

$=\frac{(v-uv+u^{2}-u)^{2}+(v-v^{2}+uv-v)^{2}}{(v-u+1)^{2}}$

$=\frac{(u-v)^{2}((u-1)^{2}+v^{2})}{(v-u+1)^{2}}$

$=\frac{(u-v)^{2}((u-1)^{2}+u^{2}-1)}{(v-u+u^{2}-v^{2})^{2}}$

$=\frac{2(u^{2}-u)}{(u+\sqrt{u^{2}-1}-1)^{2}$

ゆえに

$\lim_{u\rightarrow+\infty}{QR^{2}}$

$=\lim_{u\rightarrow+\infty}{\frac{2\left(1-\frac{1}{u}\right)}{\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{u^{2}}}-\frac{1}{u}\right)^{2}}}$

$=\frac{1}{2}$

よって

$u\rightarrow+\infty$

のとき、QRの長さは $\frac{1}{\sqrt{2}}$ に近づく。

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