数学学習の記録 305 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問12

2010年9月23日木曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問12を解いてみる。

問12

AP=PQより

u-3=4-v

問題の線分ABと線分PQの交点のx座標を求める。

線分ABの方程式は

$y=-\frac{4}{3}x+4$

線分PQの方程式は

$y=-\frac{v}{u}x+v$

よって

$x=\frac{4-v}{\frac{4}{3}-\frac{v}{u}}=\frac{3u(4-v)}{4u-3v}$

ゆえに線分ABと線分PQの交点のRの座標は

$\left(\frac{3u(4-v)}{4u-3v},\ \frac{4v(u-3)}{4u-3v}\right)$

$=\left(\frac{3(7-v)}{7},\ \frac{4(7-u)}{7}\right)$

よって線分PQが線分ABに限りなく近づくとき、すなわち

$u\rightarrow 3,\ v\rightarrow 4$

のとき交点Rは

$\left(\frac{9}{7},\ \frac{16}{7}\right)$

に近づく。