数学学習の記録 304 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問10, 11

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第17章(関数の変化をとらえる)の17.1(関数の極限)、極限の応用問題の問10, 11を解いてみる。

問10

問題の2つの円の交点の座標を求める。

$y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$

$(x-h)^{2}+(\pm\sqrt{1-x^{2}}-h)^{2}=1$

$x^{2}-2hx+h^{2}+1-x^{2}\mp 2h\sqrt{1-x^{2}}+h^{2}=1$

$-2h(x\pm \sqrt{1-x^{2}}-h)=0$

$h\ne0$

より、

$x\pm\sqrt{1-x^{2}}-h=0$

$x^{2}-2hx+h^{2}=1-x^{2}$

$2x^{2}-2hx+h^{2}-1=0$

よって、

$x=\frac{h\pm\sqrt{h^{2}-2(h^{2}-1)}}{2}=\frac{h\pm\sqrt{2-h^{2}}}{2}$

以上より、問題の2つの円の交点は

$\left(\frac{h\pm\sqrt{2-h^{2}}}{2},\ \frac{h\mp\sqrt{2-h^{2}}}{2}\right)$

(複合同順)

よって

$h\rightarrow0$

のとき、問題の2円の交点は点

$\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\ \mp\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(複合同順)

に近づく。

問11

問題の放物線上の3点を通る円の中心はy軸上にあるので、その座標を、

$P_{n}(0,\ r)$

とおく。rは円の半径でもあるので、

$h^{2}+(h^{2}-r)^{2}=r^{2}$

$-2rh^{2}+h^{4}+h^{2}=0$

$r=\frac{h^{2}+1}{2}$

よって

$h\rightarrow 0$

のとき中心 $P_{n}$ は点(0, 1/2)に近づく。

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