数学学習の記録 286.1 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問42

2010年9月4日土曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問41を解いてみる。

問42

${}_{n}C_{r}\ :\ {}_{n}C_{r+1}=\frac{n!}{(n-r)!r!}\ :\ \frac{n!}{(n-r-1)!(r+1)!}$

$=\frac{r+1}{n-r}$

よって

$r<\frac{n-1}{2}$

のとき、

${}_{n}C_{r}<{}_{n}C_{r+1}$

$r=\frac{n-1}{2}$

のとき

${}_{n}C_{r}={}_{n}C_{r+1}$

$r>\frac{n-1}{2}$

のとき

${}_{n}C_{r}>{}_{n}C_{r+1}$

よって両端に近づく程小さく、中央に近づく程大きい。(ただし、r=(n-1)/2 はrが奇数のときにとる。偶数のときはこの値はとらない)

(証明終)