数学学習の記録 286 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問41

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第15章("場合の数"をかぞえる-順列・組合せ)の15.3(二項定理)、二項定理の応用, 二項係数の性質の問41を解いてみる。

問41

辺々を掛け合わせ、両辺のxのr乗の係数を比較すると、

${}_{m+n}C_{r}={}_{m}C_{0}\cdot{}_{n}C_{r}+\cdot{}_{m}C_{1}\cdot{}_{n}C_{r}+{}_{m}C_{2}\cdot{}_{n}C_{r-2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

$\cdot\ \cdot\ \cdot\ +{}_{m}C_{r-1}\cdot{}_{n}C_{1}+{}_{m}C_{r}\cdot{}_{n}C_{0}$

展開式を用いないで、"組合せ論的証明"をする。

m人が属するAグループ、n人が属するBグループからr人を選ぶ。(m>=r, n>=r)

そのとき選ぶ方法は

${}_{m+n}C_{r}$

通り。その選ぶ方法の詳細を考える。Aグループからq人、Bグループから(r-q)人選ぶ方法は

${}_{m}C_{q}\cdot{}_{n}C_{r-q}$

通り。よって

$\sum_{q=0}^{r}{{}_{m}C_{q}\cdot{}_{n}C_{r-q}}$

通り。

(証明終)

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